By Jakob Stix

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Sample text

Wir nehmen daher an, daß es 0 = x ∈ a gibt. Die Inklusion (x) ⊆ a ist nach Lokalisieren an p ein Isomorphismus, wenn vp (x) = vp (a). Dies gilt an allen bis auf endlich vielen Stellen p. Wir nehmen die Liste der Ausnahmen p und alle p mit vp (a) > 0: {p1 , . . , ps } = {p ; vp (x) = vp (a) oder vp (a) > 0}. 34 können wir ein y ∈ A finden mit vpi (y) = vpi (a) für alle i = 1, . . , s. 16, und (x, y) = a, dies gilt lokal an jedem maximalen Primideal p: • Wenn p = p1 , . . , ps , dann ist ap = (x)p ⊆ (x, y)p ⊆ ap .

13. Sei Γ ⊆ V ein vollständiges Gitter in einem euklidischen Vektorraum V , und sei v1 , . . , vn eine Z-Basis von Γ. Wir setzen für r > 0 n Br = {x = ti vi ; −r < ti < r}, i=1 das ist der r-Ball in der sup-Norm bezüglich der Basis v1 , . . , vn . Dann ist für alle 0 < r < 1 Br ∩ Γ = {0} und lim vol(Br ) = 2n vol(Γ). r→1 Da Br konvex und zentralsymmetrisch ist, zeigt dies, daß die Voraussetzung im Minkowskischen Gitterpunktsatz in Bezug auf die Abschätzung scharf ist. 6. Der Minkowski–Raum Auf Minkowski gehen Ergebinsse zurück, die darauf beruhen, die ganzen Zahlen oF eines Zahlkörpers vom Grad n = [F : Q] als Gitterpunkte in einem n-Dimensionalen reellen euklidischen Raum aufzufassen.

Es sind äquivalent: (a) f hat P. (b) fp : Mp → Np hat P für alle Primideale p von R. (c) fm : Mm → Nm hat P für alle maximalen Ideale m von R. Beweis. Da Lokalisieren exakt ist, gilt ker(fp ) = ker(f )p , coker(fp ) = coker(f )p , im(fp ) = im(f )p . 42 angewandt auf ker(f ), coker(f ), ker(f ) und coker(f ), oder im(f ). 44. Seien N1 , N2 Untermoduln des R-Moduls M . (1) Es sind äquivalent: (a) N1 = N2 . (b) N1,p = N2,p für alle Primideale p von R. (c) N1,m = N2,m für alle maximalen Ideale m von R.